证明:当x1时,lnx大于2(x-1)x+1

当$x 1$时，$ln x frac{2}{x+1}$。证明如下：函数值比较：当$x = 1$时，$ln 1 = 0$，且$frac{2}{1+1} = 0$，两者相等。但这不直接证明$x 1$时的情况，仅作为起点。求导判断单调性：设$m = ’ = frac{1}{x}$，表示$ln x$的导数。设$n = left}{x+1}right)’ = frac{4}{^2}$，表示$frac{2}{x+1}$的导数。当$x 1$时，由于$m 0$且$n 0$，说明两个函数在$x 1$的区间内都是单调递增的。比较导数：计算$m n = frac{1}{x} frac{4}{^2} = frac{^2}{4x^2}$。由于$x 1$，则$^2 0$，且分母$4x^2 0$，因此$m n 0$。这意味着在$x 1$的区间内，$ln x$的斜率大于$frac{2}{x+1}$的斜率。结合单调性和初始值得出结论：由于两个函数在$x 1$时都是单调递增的，且$ln x$的斜率更大。又因为当$x = 1$时，两者相等。因此，可以推断出当$x 1$时，$ln x$的值必然大于$frac{2}{x+1}$的值。综上所述，当$x 1$时，$ln x frac{2}{x+1}$得证。