知乎付费咨询的一个实变函数小习题.

证明：设$f_{n}in L^{p}left( Omega right)$满足$limlimits_{nrightarrow infty} f_{n}=f,a.e$且$f_{n}$在$L^{p}left( Omega right)$中有界，即存在常数$M0$，使得对所有的$n=1,2,cdots$，有$$int_{Omega} left| f_{n} right|^{p} mathrm{d} xleqslant M$$法图引理（Fatous Lemma）告诉我们，对于非负函数序列，其逐点下极限的积分不大于积分序列的下极限。因此，有$$int_{Omega} left| f right|^{p} mathrm{d} x=int_{Omega} varliminf_{nrightarrow infty} left| f_{n} right|^{p} mathrm{d} xleqslant varliminf_{nrightarrow infty} int_{Omega} left| f_{n} right|^{p} mathrm{d} xleqslant M$$这表明$fin L^{p}left( Omega right)$且其$L^{p}$范数被$M$控制。对任何$epsilon 0$，由叶果罗夫定理（Egoroffs Theorem），存在子集$E_{delta}subset Omega$，使得在$E_{delta}$上$f_{n}(x)$一致收敛于$f(x)$，且$mleft( Omega setminus E_{delta} right) leqslant epsilon$，其中$m$表示勒贝格测度。现在，我们利用Holder不等式和不等式$left| a-b right|^{p} leqslant c_{p}left( a^{p}+b^{p} right)$（其中$c_{p}$是某个正常数，依赖于$p$）来估计$left| f_{n}-f right|_{L^{q}left( Omega right)}$。首先，我们有$$begin{aligned}varlimsup_{nrightarrow infty} left| f_{n}-f right|{L^{q}left( Omega right)}^{q} &leqslant lim{nrightarrow infty} left( int_{E_{delta}} left| f_{n}-f right|^{q} mathrm{d} x+int_{Omega setminus E_{delta}} left| f_{n}-f right|^{q} mathrm{d} x right)&leqslant int_{E_{delta}} lim_{nrightarrow infty} left| f_{n}-f right|^{q} mathrm{d} x+varlimsup_{nrightarrow infty} left( int_{Omega setminus E_{delta}} left| f_{n}-f right|^{p} mathrm{d} x right)^{frac{q}{p}} cdot m^{1-frac{q}{p}}left( Omega setminus E_{delta} right)&leqslant 0+c_{p}delta^{1-frac{q}{p}} varlimsup_{nrightarrow infty} left( int_{Omega setminus E_{delta}} left( left| f_{n} right|^{p} +left| f right|^{p} right) mathrm{d} x right)^{frac{q}{p}}&leqslant c_{p}delta^{1-frac{q}{p}} left( 2M right)^{frac{q}{p}}end{aligned}$$其中，第一个不等式是显然的；第二个不等式利用了Holder不等式和测度的性质；第三个不等式利用了$f_{n}$在$E_{delta}$上一致收敛于$f$的事实以及非负数的性质（即极限为零的序列的积分极限也为零）；最后一个不等式利用了$f_{n}$和$f$在$L^{p}left( Omega right)$中的有界性。由于$delta$和$epsilon$是任意的，且上述不等式对所有的$delta$和$epsilon$都成立，因此我们可以令$deltarightarrow 0^+$（同时保持$epsilon$固定，但最终也将令$epsilonrightarrow 0^+$），从而得到$$varlimsup_{nrightarrow in